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【高中数学】学习笔记
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专题2 函数的性质
二级结论：1奇函数最值性质【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D 上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D，则f(0)=0.
【应用场景】这个结论通过奇函数的图象的对称性可以得到，因图象关于原点对称，其最大值和最小值对应的点关于原点必对称，利用中点坐标公式即可得到结论．适合与函数解析复杂且不易判断函数单调性，通过构造函数后，借助新的函数的奇偶性来求解原函数的最值.
【典例指引1】
1．函数f= x3+x+在区间[m,n]上的最大值为10，则函数f(x)在区间[–n,–m]上的最小值为 ( )A．-10 B．-8 C．-26 D．与a 有关【答案】C先设g= x3+x+利用关系f(x) = g(x)–8 ，求g(x)在区间[m,n]上的最大值18，再利用g(x) 是奇函数，判断g(x)在区间[-n,–m]上的最小值-18，再利用关系f(x) = g(x)–8 ，得到f(x)在区间[-n,–m]上的最小值即可.设g= x3+x+-8，即g+8，故g在区间[m,n]上的最大值为g(x)max=f(x)max+8 =18 ，又易见g(–x) = –g(x) ，即g(x) 是奇函数，图象关于原点中心对称，故g(x)在区间[-n,–m]上的最小值为g(x)min = –18 =f(x)min+8，故f(x)在区间[-n,–m]上的最小值为f(x)min=–26 .故选：C.【点睛】有关奇函数最值问题的解决方法：
（1）奇函数关于原点中心对称，因此在对称区间上最大值与最小值互为相反数；
（2）一个函数f(x)有部分是奇函数，可以先令这部分为g(x) ，有f(x) = g(x)+c ，利用g(x) 是奇函数，其在对称区间上最值的特征，推出f(x)在对称区间上的最值的关系f(x)min+f(x)max=2c .
【典例指引2】
2．已知函数f(x) =的最大值为M，最小值为m ，则M +m =
【答案】2
【分析】对函数进行化简可得f(x)= 1+— ，构造函数
可判断g(x)为奇函数，则f(x)=g(x)+1，由奇函数的对称性即可求解.
【详解】Q f(x) === 1+—，
即g(x)为奇函数，图象关于原点对称，:g(x)=f(x)—1，
:g(x)max=M —1，g(x)min= m—1，且g(x)max+g(x)min=0 ，:M —1+m—1= 0 ，则M +m =2 .故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用奇函数的对称性求解函数的最值，解题的关键是构造函数g(x)并灵活利用奇函数的对称性，属于中档题.
【针对训练】
3．若对任意x,y ∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)，则函数g(x)=+f(x)+3在
[—2019,2019]上的最大值M 与最小值m 的和M+m=()A．—6 B．6 C．—3 D．5【答案】B【分析】首先根据题中对函数的性质计算出特殊值f(0)，再判断f(x) 的奇偶性，由此判断出h(x) =+f(x)为奇函数，最后根据奇函数关于原点对称的性质得出结果.【详解】在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0 得f(0+0)= 2f(0)，即f(0)=0 ，令y =—x得f(x)+f(—x)= 0，即f(—x) = —f(x)，∴f(x) 是奇函数，则是奇函数，∴在对称区间上h(x)max+h(x)min =0，当x ∈[—2019,2019]时，g (x)max =M= h(x)max +3，g(x)min=M= h(x)min+3 ，∴M+m=h(x)max+h(x)min+6=6 .故选:B
4．已知f(x)= ax3+bx9+2 在区间(0,+∞)上有最大值5，那么f(x)在(—∞,0)上的最小
值为()
A．–5B．–1 C．–3 D．5
【答案】B【分析】f(x)=ax3+bx9+2 中ax3 +bx9 为奇函数,故分析f(x)的对称点,再根据对称性判断即可.【详解】因为f(x)=ax3+bx9+2 中ax3 +bx9 为奇函数关于(0,0) 对称,故f(x)=ax3+bx9+2 关于(0,2) 对称,又f(x)在区间(0,+∞)上有最大值5,故f(x)在(—∞,0)上的最小值为2×2—5 = —1故选B
【点睛】本题主要考查奇函数的对称性与运用,属于基础题型.
5．已知函数f(x)和g(x)均为奇函数， h(x)= a.(f(x))3 —b.g(x)—2 在区间(0,+∞)上 有最大值5 ，那么h(x)在(—∞,0)上的最小值为 ( )
A．—5 B．—9 C．—7 D．—1【答案】B【分析】根据条件构造函数φ(x)=h(x)+2 ，判断函数φ(x)的奇偶性，结合函数奇偶性和最值之间的关系建立方程进行求解即可.【详解】由h(x)=a (f (x ))3—bg(x )—2 得h(x)+2 =a (f(x ))3 —bg(x)，令φ(x)= h(x)+ 2=a(f(x))3—bg(x)，则φ(—x)= a(f(—x))3—bg (—x)=—「La(f(x))3 —bg (x)= —φ(x)，∴函数φ(x)为奇函数.∵h(x)= a.(f(x))3—b.g(x) —2在区间(0,+∞)上有最大值5， ∴h(x)max=5，∴h(x)max +2 = 7 ，即φ(x)max= 7.∵φ(x)= h(x)+2 是奇函数， ∴φ(x)min= —7 = h(x)min +2，∴h(x)min= —9 .
故选：B.
6．定义：函数f(x)满足f(x)+f(—x) = C （x∈R ，C 为常数），则称f(x)为中心对称
函数，已知中心对称函数f(x在上的最大值和最小值分别为
M，m，则M+m=()
A．—2 B．—1 C．—3 D．2
【答案】D
【分析】变形给定的函数式，再借助奇函数最大值与最小值的关系计算作答.
【详解】函数f(x) == +1，令g(x) =，则
函数g(x) 是R 上的奇函数，而g(x) =f(x) —1 ，依题意，g(x)max= M —1,g(x)min= m—1，又g(x)max+g(x)min=0，所以M +m =2.故选：D
二级结论2：函数周期性问题
【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D 上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D，则f(0)=0．已知定义在R 上的函数f(x)，若对任意x∈R，总存在非零常数T，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期．除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a.如果f，那么f是周期函数，其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x–a)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T=6a.【应用场景】这个结论通过周期函数的定义得到，用x +a 代换等式中的x 构造出来f(x)= f(x +T) 的形式，然后利用周期函数的定义即可得到结论．解题时，要注意观察给定的抽象等式和函数的奇偶性，对称性等性质，结合图象明确函数的周期性.【典例指引1】8．定义在R偶函数f(x)满足f(x—2)= —f(x+2)，对丫x1,x2∈[0,4]，x1 ≠ x2 ，都有
> 0 ，则有
A．f(1921)= f(2021)< f(1978) B．f(1921)< f(1978)< f(2021)
C．f(1921)< f(2021)< f(1978) D．f(2021)< f(1978)< f(1921)
【答案】B
【解析】首先判断函数的周期，并利用周期和偶函数的性质化简选项中的函数值，再比较大小.【详解】:f(x—2)=—f(x+2)，:f(x+4)=—f(x)，即f(x +8)= f(x)， \f (x)的周期T = 8，由条件可知函数在区间[0,4]单调递增，f(1921)=f(240×8+1)=f(1)，f(2021)=f(252×8+5)=f(5)=f(—3)=f(3)，f(1978)=f(247×8+2)=f(2)，:函数在区间[0,4]单调递增，:f(1)<f(2)<f(3)，即f(1921)< f(1978)< f(2021).故选：B【点睛】结论点睛：本题的关键是判断函数是周期函数，一般涉及周期的式子包含f(x+a)=f(x)，则函数的周期是ai，若函数f(x+a)=—f(x)，或，
则函数的周期是2a，或是f(x—a)=f(x+b)，则函数的周期是b+a.
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